Jako 13-latek dołączył do "Pamarańczarni", czyli 23. Warszawskiej Drużyny Harcerzy im. Bolesława Chrobrego. Był bardzo wysportowany - osiągał dobre wyniki w zawodach lekkoatletycznych, ponadto świetnie pływał i grał w koszykówkę. W maju 1939 roku zdał maturę w liceum im. Stefana Batorego, do którego chodził razem ze swoim przyjacielem Janem Bytnarem "Rudym".

Krótko po wybuchu II wojny światowej Niemcy aresztowali, a po kilku miesiącach rozstrzelali ojca "Alka". Wraz z grupą przyjaciół z "Pomarańczarni" Aleksy Dawidowski działał najpierw w Polskiej Ludowej Akcji Niepodległościowej, następnie pełnił funkcję łącznika w komórce więziennej Związku Walki Zbrojnej. W marcu 1941 roku razem z kolegami wstąpił do Szarych Szeregów. Był jednym z najaktywniejszych członków Organizacji Małego Sabotażu "Wawer". To on, 11 lutego 1942 roku zdjął niemiecką tablicę z pomnika Mikołaja Kopernika w Warszawie. Z czasem Aleksy Dawidowski przeszedł do Grup Szturmowych, które wykonywały akcje bojowe.

W czasie akcji pod Arsenałem 26 marca 1943 roku dowodził sekcją "Granaty" w grupie "Atak". Podczas odwrotu został poważnie ranny w brzuch. Jego stan pogarszał się z dnia na dzień, zmarł 30 marca 1943 roku w Szpitalu Dzieciątka Jezus przy Nowogrodzkiej. Tego samego dnia w Szpitalu Wolskim przy Płockiej zmarł Jan Bytnar "Rudy".

Generał Stefan Rowecki "Grot", dowódca Armii Krajowej, odznaczył "Alka" pośmiertnie w maju 1943 roku Krzyżem Srebrnym Orderu Virtuti Militari za bohaterską postawę wobec wroga i śmierć na posterunku. Aleksy Dawidowski był pierwszym harcerzem Szarych Szeregów, któremu nadano to najwyższe polskie odznaczenie wojskowe. Został też awansowany do stopnia sierżanta podchorążego.

"Alek" został pochowany pod przybranym nazwiskiem na Cmentarzu Powązkowskim. Po wojnie jego ciało ekshumowano i przeniesiono 4 kwietnia 1946 roku do grobu Jana Bytnara w Kwaterze Harcerskiego Batalionu Armii Krajowej "Zośka" na Cmentarzu Wojskowym na Powązkach.

W 2011 roku "Alek" został odznaczony pośmiertnie Krzyżem Komandorskim z Gwiazdą Orderu Odrodzenia Polski.