Kubicki jest wychowankiem STS-u Skarżysko-Kamienna, swój talent szlifował m.in. w pierwszoligowym SMS-ie PZPS Spała, skąd trafił na boiska PlusLigi. Debiut w najwyższej klasie rozgrywkowej zanotował w sezonie 2022/2023 w barwach KGHM Cuprum Lubin.

Nowy rozgrywający ZAKSY Kędzierzyn-Koźle to młodzieżowy reprezentant Polski. W barwach biało-czerwonych, zdobył między innymi  złoty medal mistrzostw świata w 2021 roku czy srebrny medal mistrzostw Europy we Włoszech rok później. Na tych zawodach otrzymał tytuł najlepszego rozgrywającego mistrzostw.

Obecnie Kajetan Kubicki występuje w reprezentacji Polski do lat 22, z którą niedawno przygotowywał się w Kędzierzynie-Koźlu do rozpoczynających się na początku lipca w Holandii, mistrzostw Europy.